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Corriente Alterna de Fasores
Generación de corriente alterna:
La corriente alterna es la que varia con el tiempo, para uno de los sentidos de circulación se considera positivo, hacia el otro negativo y está determinada si se conoce i = F(t) La generación de energía eléctrica se realiza comercialmente con tensiones y corrientes senoidales en el tiempo, porque tienen las mayores ventajas respecto de la CC y de otras formas de ondas alternas, en las aplicaciones principales que son generadores, motores (fabricación más sencilla y no requieren de partes mecánicas solicitadas al desgaste por rozamiento) y en el transporte con transformación de tensiones (las condiciones económicas requieren alta tensión de transmisión y las de seguridad baja tensión de distribución), optimizando las características técnicas y económicas (pérdidas de energía, sobre-tensiones, interferencias en comunicaciones, etc.). Para considerar que todas las magnitudes de tensiones y corrientes son senoidales se deben excluir los transitorios de conexiones (análisis en régimen permanente) y asumir que resistencias, capacidades e inductancias son lineales. La red domiciliaria en nuestro país se alimenta con tensión senoidal de Vmax. = √2. 220 V y f = 50 Hz En los generadores de potencia, una bobina alimentada por corriente continua y ensamblada en un núcleo de material ferromagnético giratorio, crea el campo magnético que induce la fem alterna en el bobinado del estator, el que posee mayores dimensiones que la parte giratoria por la potencia que maneja, lo que justifica que no sea la parte móvil.
El eje de estos generadores es impulsado por turbinas de vapor o de agua, posibilitando la conversión de energía mecánica en eléctrica, de tal forma que al variar la potencia eléctrica demandada (proporcional a la intensidad del bobinado del estator), se debe variar automáticamente la potencia mecánica en el eje del generador para conservar la velocidad angular y la frecuencia en 50 Hz. Para el análisis más simple, utilizamos un generador básico que consiste de una bobina donde se induce la fuerza electromotriz (fem), cuando gira dentro del campo magnético creado por un imán u otra bobina estática, alimentada por una corriente continua. La fem queda aplicada entre los anillos giratorios y a través de escobillas colectoras es conectada al circuito estático
Fuerza Electromotriz Senoidal Inducida
La figura ilustra la vista lateral de una espira de área A girando dentro del campo magnético uniforme de inducción B con velocidad angular ω, por lo que se induce una fem e(t) en bornes de la misma
e = - dФ/ dt = - d ( B x A)/dt = - d (B. A . cos (ωt + φo)) / dt = B.A. ω. sen (ωt + φo)
e = Emax. sen (ωt + φo)
ω (pulsación) = 2π/T = 2 π f T: período f: frecuencia
Fasores
Si se representa un vector giratorio como el A de la figura anterior, pero con el módulo Emax y ángulo igual al inicial de fase φo, para t = 0, la proyección de este sobre el eje y, mientras gira con velocidad ω es el valor de e(t), por lo que hay una correspondencia biunívoca entre la función senoidal y el vector giratorio
El vector representado para t = 0 es el fasor Emax y queda determinado por el módulo y el ángulo inicial de fase, se identifica con un punto sobre la designación: . ∟φo J φo Emax = Emax = Emax . e Representando al fasor como un número complejo, las anteriores son las notaciones polar y exponencial, útiles para operaciones de multiplicación y división También se puede usar la notación trigonométrica, útil para las operaciones de suma y resta . . . Emax = Emax cos φo + j Emax sen φo = Real ( Emax) + Imag ( Emax) El primer sumando es la parte Real (proyección del vector sobre el eje x), la segunda es la parte Imaginaria (proyección del vector sobre el eje y), j indica parte imaginaria Partiendo de la notación fasorial se puede pasar a la función senoidal para cualquier t (Reestableciendo el giro del fasor con velocidad ω), haciendo: . J ωt ∟φo J ωt e (t) = Imag ( Emax . e ) = Imag (Emax . e ) = Emax sen (ωt + φo) Cuando se opera con varios fasores, conviene dejar uno de ellos con ángulo φ= 0, los otros tendrán un ángulo respecto de éste que será el “desfasaje”.
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Suma y resta de tensiones y corrientes senoidales de igual ω
Como ejemplo se suman dos tensiones v1 y v2 v = v1 + v2 = V1max sen (ωt + φ1) + V2max sen (ωt + φ2) = Vmax sen (ωt + φ) La suma o resta de dos senoides de igual ω resulta en otra senoide, donde se deben determinar analíticamente Vmax y φ. Es más fácil hacer la operación fasorial de la suma que la senoidal, ya que se opera como si fueran vectores:
La interpretación senoidal se tiene si se consideran todos los fasores girando con velocidad ω, las proyecciones sobre el eje y son las funciones senoidales del tiempo. La suma matemática se hace descomponiendo los fasores en sus partes reales e imaginarias y sumándolos separadamente:
Real (Vmax ) = Real (Vmax1) + Real (Vmax2) = Vmax1 cos φ1 + Vmax2 cos φ2 .
Imag (Vmax ) = Imag (Vmax1) + Imag(Vmax2) = Vmax1 sen φ1 + Vmax2 sen φ2 . 2 . 2 1/2 Vmax = ( (Real (Vmax)) + (Imag (Vmax)) ) . . φ = arc tg [(Imag (Vmax) / (Real (Vmax)] La resta de fasores se realiza de la misma forma como si fueran vectores Dado que el valor más representativo de una magnitud eléctrica senoidal es su valor eficaz el módulo del fasor se toma con ese valor que es V = Vmax / √2 . el fasor suma queda entonces:
Si se desea volver a la representación senoidal bastará con multiplicar V por √2 para obtener Vmax. y restablecer el giro con velocidad ω .
J ωt ∟φo J ωt ∟(φo + ωt)
v (t) = Imag ( Vmax . e ) = Imag (Vmax . e ) = Imag (Vmax )
v (t) = Vmax sen (ωt + φo)
Resistencia con tensión senoidal aplicada - valor eficaz
valor eficaz
El valor eficaz es el valor representativo de la transformación energética de una corriente senoidal. R caracteriza la transformación de energía eléctrica en un proceso no conservativo para el circuito, normalmente en calor, pero extendido a mecánica, química, electromagnética, etc., desarrollando la energía o potencia activa que entrega el circuito, que se distingue de la reactiva que entrega y retorna al circuito eléctrico La energía desarrollada por esta corriente senoidal en un tiempo T en R es: T T 2 T 2 W = ∫ p dt = ∫ i R dt = ∫ (Imax sen ωt) . R dt 0 0 0 2 La misma energía desarrollada por una corriente constante (continua) es W = I. R.T, igualando T 2 T 2 2 ∫ i R dt = ∫ (Imax sen ωt) . R dt = I. R.T = P. T, donde P es la potencia media o activa
De la ecuación se ve que I también es la media cuadrática de la corriente en el período T 2 De forma análoga para la tensión senoidal, si se usa p = v / R, se obtiene el valor eficaz V = Vmax/√2. Los instrumentos comunes que miden estos valores senoidales indican los valores eficaces. Los fasores se representan con estos valores eficaces, quedando para la resistencia . ∟o . ∟o . ∟o . ∟o . . 2 2 V = V I = I I = V / R V = I . R P = V . I = V.I = I R = V / R La representación senoidal y fasorial es la siguiente:
Inductancia con tensión Senoidal Aplicada
Fuerza electromotriz de autoinducción: La aparición de la ddp en bornes de L es consecuencia de la fem inducida e. El sentido de v es opuesto al de e. Al crecer i en sentido positivo (flujo de B) la fem se opone a la variación con una corriente que circularía en sentido inverso. Al bajar i, la fem se opone a la reducción generando en el mismo sentido, cuando la corriente i cambia de sentido se aplica el mismo criterio, quedando las polaridades y sentidos como se indica en la figura.
Los bornes homólogos de diferentes inductancias (también transformadores) se designan con el mismo criterio, son los que responden con igual polaridad ante el mismo cambio de i Los valores instantáneos en función del tiempo son para una i senoidal: eL = - L di/dt = - L d(Imax sen ωt) / dt = Lω Imax sen (ωt - π/2) = Emax sen (ωt π/2) vL = - eL = L di/dt = L d(Imax sen ωt) / dt = Lω Imax sen (ωt + π/2) = Vmax sen (ωt + π/2) p = v . i = V.I sen2 ωt en la gráfica notar que cuando p>0 la energía sale del circuito y cuando p0, el circuito entrega energía que se transforma en campo magnético y se reduce cuando p<0 el circuito recibe la energía del campo. La representación gráfica senoidal y fasorial para L es:
Capacitor con tensión Senoidal Aplicada
Proceso de carga y descarga: Al aumentar v, la i de carga positiva agrega cargas en las placas, al bajar v las cargas vuelven a la fuente originando una i de sentido contrario, quedando las polaridades y sentidos como se ilustra
v = q / C = (1/C) ∫ i dt i = C dv/dt = C . d(Vmax sen ωt)/dt = Vmax. Cω sen (ωt + π/2) = Imax sen (ωt + π/2) p = v . i = V.I sen2 ωt en la gráfica notar que cuando p>0 la energía sale del circuito y cuando p0, el circuito entrega energía que se transforma en campo eléctrico y se reduce cuando p<0, el circuito recibe la energía del campo. La representación gráfica senoidal y fasorial para C es:
Circuito serie R-L-C con Tensión senoidal aplicada
Se dice que el circuito está en resonancia para ese ω0, I 0 es el valor más alto que puede tomar la corriente, si la v aplicada mantiene constante Vmax y varía ω, la I eficaz (V / Z) varía con ω según la figura. Se nota que el circuito tiene una propiedad selectiva de ω, con tensiones de diferente ω, solo la de ω0 tendrá mayor valor de I, lo que se utiliza de filtro en comunicaciones. Cuanto mayor es el factor de mérito q más aguzada es la curva, lo que le da una sintonía más fina
Circuito paralelo R-L-C con Tensión senoidal aplicada
El diagrama fasorial se ilustra en la figura, tomando el ángulo inicial de fase para la v igual a cero, el desfasaje de la intensidad de C en avance 90 ° y el de L en atraso 90°
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Programación en C++
Unknown Track - Unknown Artist
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